Найдите значение параметра m, при котором сумма квадратов действительных корней уравнения x²+2(4m-1)x+4m+1=0 будет наименьшей.

Решение:

1. Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — действительные корни уравнения \( x^2 + 2(4m-1)x + 4m+1 = 0 \).
2. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2(4m-1) \) и \( x_1 \cdot x_2 = 4m+1 \).
3. Сумма квадратов корней: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \).
4. Подставим значения из теоремы Виета: \( S = (-2(4m-1))^2 - 2(4m+1) = 4(16m^2 - 8m + 1) - 8m - 2 \)
5. \( S = 64m^2 - 32m + 4 - 8m - 2 = 64m^2 - 40m + 2 \).
6. Чтобы найти наименьшее значение параболы \( S(m) = 64m^2 - 40m + 2 \), найдем вершину: \( m = \frac{-b}{2a} = \frac{40}{2 \cdot 64} = \frac{40}{128} = \frac{5}{16} \).
7. Для существования действительных корней, дискриминант должен быть неотрицателен: \( D = (2(4m-1))^2 - 4(4m+1) \ge 0 \)
8. \( 4(16m^2 - 8m + 1) - 16m - 4 \ge 0 \)
9. \( 64m^2 - 32m + 4 - 16m - 4 \ge 0 \)
10. \( 64m^2 - 48m \ge 0 \)
11. \( 16m(4m - 3) \ge 0 \). Это выполняется при \( m \le 0 \) или \( m \ge \frac{3}{4} \).
12. Найденное значение \( m = \frac{5}{16} \) не входит в область допустимых значений.
13. Рассмотрим функцию \( S(m) = 64m^2 - 40m + 2 \) на интервалах \( (-\infty, 0] \) и \( [\frac{3}{4}, \infty) \).
14. Так как парабола \( S(m) \) имеет минимум при \( m = \frac{5}{16} \), на интервале \( [\frac{3}{4}, \infty) \) функция возрастает, значит, наименьшее значение будет при \( m = \frac{3}{4} \).
15. На интервале \( (-\infty, 0] \) функция убывает, значит, наименьшее значение будет при \( m = 0 \).
16. Сравним значения \( S(\frac{3}{4}) \) и \( S(0) \).
17. \( S(\frac{3}{4}) = 64(\frac{3}{4})^2 - 40(\frac{3}{4}) + 2 = 64 \cdot \frac{9}{16} - 30 + 2 = 4 \cdot 9 - 28 = 36 - 28 = 8 \).
18. \( S(0) = 64(0)^2 - 40(0) + 2 = 2 \).
19. Следовательно, наименьшее значение суммы квадратов корней равно 2 при \( m = 0 \).

Ответ: 0.