В окружность радиуса 4 вписана трапеция, у которой боковая сторона равна меньшему основанию, а угловая мера дуги, стягиваемой этим основанием, равна 30°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Пусть трапеция ABCD вписана в окружность радиуса R=4. Пусть AB=CD (боковые стороны) и BC — меньшее основание.
2. Угловая мера дуги BC равна 30°, значит, центральный угол \( \angle BOC = 30^{\circ} \).
3. Длина меньшего основания BC = \( 2R \sin(\frac{30^{\circ}}{2}) = 2 \cdot 4 \sin(15^{\circ}) = 8 \sin(15^{\circ}) \).
4. \( \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ}-30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \).
5. \( BC = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \).
6. По условию, боковая сторона равна меньшему основанию: \( AB = BC = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \).
7. Рассмотрим треугольник ABM, где AM — высота трапеции. Угол при основании равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой основанием.
8. Угловая мера дуги, стягиваемой основанием AD, равна \( 360^{\circ} - 2 \cdot \text{дуга, стягиваемая боковой стороной} \).
9. Если угловая мера дуги BC = 30°, то угловая мера дуги, стягиваемой боковой стороной AB, равна \( \alpha \).
10. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Угол \( \angle ABC = \angle BCD \).
11. Центральный угол, опирающийся на хорду AB, равен \( \angle AOB \).
12. Вписанный угол \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \).
13. В трапеции ABCD, AB = CD = BC.
14. Пусть \( \angle ABC = \beta \). В треугольнике ABC: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB · BC · \cos(\beta) \).
15. Диагонали равнобедренной трапеции равны: \( AC = BD \).
16. Угол, опирающийся на дугу AB, равен \( \angle ADB \).
17. Рассмотрим угол \( \angle BAC \).
18. Так как BC = 2R sin(15°), а AB = BC, то угол \( \angle BAC \) не так просто найти.
19. Вернемся к центральным углам. Дуга BC = 30°. Значит, \( \angle BOC = 30^{\circ} \).
20. Пусть дуга AB = дуга CD = \( x \). Тогда дуга AD = \( 360^{\circ} - 30^{\circ} - 2x \).
21. \( BC = 2R \sin(15^{\circ}) \).
22. \( AB = 2R \sin(x/2) \).
23. По условию AB = BC, значит, \( 2R \sin(x/2) = 2R \sin(15^{\circ}) \), откуда \( x/2 = 15^{\circ} \) или \( x/2 = 180^{\circ}-15^{\circ} \).
24. \( x = 30^{\circ} \) или \( x = 330^{\circ} \). \( x=330^{\circ} \) невозможно, так как дуга AB < 180°.
25. Значит, дуга AB = дуга CD = 30°.
26. Тогда дуга AD = \( 360^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 270^{\circ} \).
27. Это означает, что AD — большая дуга.
28. Рассмотрим трапецию ABCD, вписанную в окружность.
29. Углы при основании трапеции равны. \( \angle DAB = \angle CDA \) и \( \angle ABC = \angle BCD \).
30. Угол, опирающийся на дугу BC (30°), равен \( \angle BAC = \angle BDC = 15^{\circ} \).
31. Угол, опирающийся на дугу AB (30°), равен \( \angle ACB = \angle ADB = 15^{\circ} \).
32. Угол, опирающийся на дугу CD (30°), равен \( \angle CAD = \angle CBD = 15^{\circ} \).
33. Угол, опирающийся на дугу AD (270°), равен \( \angle ABD = \angle ACD = 135^{\circ} \).
34. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 135^{\circ} + 15^{\circ} = 150^{\circ} \).
35. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 15^{\circ} + 135^{\circ} = 150^{\circ} \).
36. \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 15^{\circ} + 15^{\circ} = 30^{\circ} \).
37. \( \angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 15^{\circ} + 15^{\circ} = 30^{\circ} \).
38. Сумма углов трапеции: \( 150^{\circ} + 150^{\circ} + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 360^{\circ} \).
39. Среднее основание = \( BC = 2R \sin(15^{\circ}) = 2( \sqrt{6}-\sqrt{2}) \).
40. Большее основание AD = \( 2R \sin(270^{\circ}/2) = 2R \sin(135^{\circ}) = 2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \).
41. Высота трапеции \( h = AB \sin(\angle DAB) = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \sin(30^{\circ}) = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{6}-\sqrt{2} \).
42. Площадь трапеции = \( \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 4\sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2}) \).
43. Площадь = \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2}) = (\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2}) \).
44. Площадь = \( (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4 \).

Ответ: 4.