596. Найдите значение переменной у, при котором: а) сумма дробей 3у+9 и 2у-13 равна 2; 3у-1 2у+5 б) разность дробей 5у+13 и 4-6у равна 3; 5у+4 3у-1 в) сумма дробей у+1 и 10 равна их произведению; у-5 у+5 г) разность дробейи 6 и у равна их произведению. у-4 у+2

Решим каждое уравнение отдельно:

а) Дано уравнение: $$\frac{3y+9}{3y-1} + \frac{2y-13}{2y+5}=2$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)}{(3y-1)(2y+5)}=2$$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$$\frac{6y^2+15y+18y+45+6y^2-2y-39y+13}{6y^2+15y-2y-5}=2$$ $$\frac{12y^2-8y+58}{6y^2+13y-5}=2$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$12y^2-8y+58=2(6y^2+13y-5)$$ $$12y^2-8y+58=12y^2+26y-10$$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$12y^2-8y+58-12y^2-26y+10=0$$ $$-34y+68=0$$

Решим уравнение относительно y:

$$-34y=-68$$ $$y=\frac{-68}{-34}$$ $$y=2$$

Ответ: $$y=2$$

б) Дано уравнение: $$\frac{5y+13}{5y+4} - \frac{4-6y}{3y-1}=3$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(5y+13)(3y-1)-(4-6y)(5y+4)}{(5y+4)(3y-1)}=3$$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$$\frac{15y^2-5y+39y-13-(20y+16-30y^2-24y)}{15y^2-5y+12y-4}=3$$ $$\frac{15y^2+34y-13+30y^2+4y-16}{15y^2+7y-4}=3$$ $$\frac{45y^2+38y-29}{15y^2+7y-4}=3$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$45y^2+38y-29=3(15y^2+7y-4)$$ $$45y^2+38y-29=45y^2+21y-12$$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$45y^2+38y-29-45y^2-21y+12=0$$ $$17y-17=0$$

Решим уравнение относительно y:

$$17y=17$$ $$y=\frac{17}{17}$$ $$y=1$$

Ответ: $$y=1$$

в) Дано уравнение: $$\frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5} = \frac{y+1}{y-5} \cdot \frac{10}{y+5}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю в левой части:

$$\frac{(y+1)(y+5)+10(y-5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{10(y+1)}{(y-5)(y+5)}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$(y+1)(y+5)+10(y-5) = 10(y+1)$$ $$y^2+5y+y+5+10y-50 = 10y+10$$ $$y^2+6y+5+10y-50 - 10y-10 = 0$$ $$y^2+6y-55 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-55) = 36 + 220 = 256$$

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{-6 + 16}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{-6 - 16}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$

Проверим корни на допустимость (y ≠ 5 и y ≠ -5):

y = 5 - не подходит, т.к. обращает знаменатель в ноль.

y = -11 - подходит.

Ответ: $$y=-11$$

г) Дано уравнение: $$\frac{6}{y-4} - \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} \cdot \frac{y}{y+2}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю в левой части:

$$\frac{6(y+2)-y(y-4)}{(y-4)(y+2)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$6(y+2)-y(y-4)=6y$$ $$6y+12-y^2+4y=6y$$ $$-y^2+10y+12=6y$$ $$-y^2+4y+12=0$$ $$y^2-4y-12=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64$$

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Проверим корни на допустимость (y ≠ 4 и y ≠ -2):

y = -2 - не подходит, т.к. обращает знаменатель в ноль.

y = 6 - подходит.

Ответ: $$y=6$$