597. Решите уравнение: a) 5 - 4 = 1 ; y-2 y-3 y б) 1 + 1 = 3 ; 2(x+1) x+2 x+3 B) x+2+x²-2x=x³-4x

Решим каждое уравнение отдельно:

a) Дано уравнение: $$\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{5y(y-3)-4y(y-2)-(y-2)(y-3)}{y(y-2)(y-3)}=0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{5y^2-15y-4y^2+8y-(y^2-3y-2y+6)}{y(y-2)(y-3)}=0$$ $$\frac{5y^2-15y-4y^2+8y-y^2+5y-6}{y(y-2)(y-3)}=0$$ $$\frac{0y^2-2y-6}{y(y-2)(y-3)}=0$$ $$\frac{-2y-6}{y(y-2)(y-3)}=0$$

Решим уравнение относительно y:

$$-2y-6=0$$ $$-2y=6$$ $$y=-3$$

Проверим корень на допустимость (y ≠ 0, y ≠ 2 и y ≠ 3):

y = -3 - подходит.

Ответ: $$y=-3$$

б) Дано уравнение: $$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(x+2)(x+3)+2(x+1)(x+3)-6(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)}=0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{x^2+3x+2x+6+2(x^2+3x+x+3)-6(x^2+2x+x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)}=0$$ $$\frac{x^2+5x+6+2x^2+8x+6-6x^2-18x-12}{2(x+1)(x+2)(x+3)}=0$$ $$\frac{-3x^2-5x+0}{2(x+1)(x+2)(x+3)}=0$$ $$\frac{-3x^2-5x}{2(x+1)(x+2)(x+3)}=0$$

Решим уравнение относительно x:

$$-3x^2-5x=0$$ $$x(-3x-5)=0$$

Тогда, либо $$x=0$$, либо $$-3x-5=0$$, откуда $$-3x=5$$ и $$x=-\frac{5}{3}$$

Проверим корни на допустимость (x ≠ -1, x ≠ -2 и x ≠ -3):

$$x=0$$ - подходит.

$$x=-\frac{5}{3}$$ - подходит.

Ответ: $$x=0$$ и $$x=-\frac{5}{3}$$

в) Дано уравнение: $$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}$$.

Разложим знаменатели на множители:

$$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x(x-2)+x+2-8}{x(x-2)(x+2)}=0$$ $$\frac{x^2-2x+x+2-8}{x(x-2)(x+2)}=0$$ $$\frac{x^2-x-6}{x(x-2)(x+2)}=0$$

Решим уравнение относительно x:

$$x^2-x-6=0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Проверим корни на допустимость (x ≠ 0, x ≠ 2 и x ≠ -2):

x = 3 - подходит.

x = -2 - не подходит, т.к. обращает знаменатель в ноль.

Ответ: $$x=3$$