598. Решите уравнение: д) 1+x²-8x+16=x-4 г) 10 + 1 = 1+y; y³-y y-y² 1 e) 5 = 4 x-1 3-6x+3x²=3.

Решим каждое уравнение отдельно:

д) Дано уравнение: $$1+\frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4}$$.

Разложим знаменатель на множители:

$$1+\frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(x-4)^2+45}{(x-4)^2} = \frac{14(x-4)}{(x-4)^2}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$(x-4)^2+45=14(x-4)$$ $$x^2-8x+16+45=14x-56$$ $$x^2-8x+61-14x+56=0$$ $$x^2-22x+117=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4(1)(117) = 484 - 468 = 16$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{22 + 4}{2} = \frac{26}{2} = 13$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{22 - 4}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Проверим корни на допустимость (x ≠ 4):

x = 13 - подходит.

x = 9 - подходит.

Ответ: $$x=13$$ и $$x=9$$

г) Дано уравнение: $$\frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y-y^2} = 1+\frac{1}{y}$$.

Разложим знаменатели на множители:

$$\frac{10}{y(y-1)(y+1)} + \frac{1}{y(1-y)} = 1+\frac{1}{y}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{10-(y+1)}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y(y-1)(y+1)+ (y-1)(y+1)}{y(y-1)(y+1)}$$ $$\frac{10-y-1}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y(y^2-1)+ y^2-1}{y(y-1)(y+1)}$$ $$\frac{9-y}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y^3-y+ y^2-1}{y(y-1)(y+1)}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$9-y = y^3-y+ y^2-1$$ $$y^3+y^2=10$$

Тут нужно подобрать корень, видно, что корень 2, т.к.

$$2^3+2^2 = 8+4=12
eq 10$$

Похоже, что вкралась ошибка при переписывании условия.

е) Дано уравнение: $$\frac{5}{x-1} = \frac{4}{3-6x+3x^2}-3$$.

Разложим знаменатель на множители:

$$\frac{5}{x-1} = \frac{4}{3(x-1)^2}-3$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{5}{x-1} = \frac{4-9(x-1)^2}{3(x-1)^2}$$

$$\frac{15(x-1)}{3(x-1)^2} = \frac{4-9(x-1)^2}{3(x-1)^2}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$15(x-1)=4-9(x-1)^2$$ $$15x-15=4-9(x^2-2x+1)$$ $$15x-15=4-9x^2+18x-9$$ $$9x^2+15x-18x-15-4+9=0$$ $$9x^2-3x-10=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(9)(-10) = 9 + 360 = 369$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{369}}{2(9)} = \frac{3 + \sqrt{369}}{18} = \frac{3 + 3\sqrt{41}}{18} = \frac{1 + \sqrt{41}}{6}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{369}}{2(9)} = \frac{3 - \sqrt{369}}{18} = \frac{3 - 3\sqrt{41}}{18} = \frac{1 - \sqrt{41}}{6}$$

Проверим корни на допустимость (x ≠ 1):

$$x_1=\frac{1 + \sqrt{41}}{6} \approx 1.23
eq 1$$ - подходит.

$$x_2= \frac{1 - \sqrt{41}}{6} \approx -0.90
eq 1$$ - подходит.

Ответ: $$x=\frac{1 + \sqrt{41}}{6}$$ и $$x=\frac{1 - \sqrt{41}}{6}$$