Найдите значение производной функции в точке $$x_0$$, если: $$f(x) = x^3 - \sqrt{x}, x_0 = 4$$

Чтобы найти значение производной функции в точке $$x_0 = 4$$, сначала нужно найти производную функции $$f(x) = x^3 - \sqrt{x}$$.

1. Найдем производную функции $$f(x)$$. Для этого вспомним, что $$ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$. Тогда:
$$f(x) = x^3 - x^{\frac{1}{2}}$$
2. Используем правило дифференцирования степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.
3. Применим это правило к каждому члену функции:
$$f'(x) = (x^3)' - (x^{\frac{1}{2}})' = 3x^2 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 3x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
4. Теперь найдем значение производной в точке $$x_0 = 4$$:
$$f'(4) = 3(4)^2 - \frac{1}{2\sqrt{4}} = 3(16) - \frac{1}{2 \cdot 2} = 48 - \frac{1}{4} = 47\frac{3}{4} = 47.75$$