8. Найдите значение выражения \(\left(\frac{1}{2}a^2b\right)^3 \cdot (4ab^3)^2\), если a = \(\frac{1}{2}\), b = -2.

Ответ: -1

Решение:

Упростим выражение, прежде чем подставлять значения a и b:

\[ \left(\frac{1}{2}a^2b\right)^3 \cdot (4ab^3)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 (a^2)^3 b^3 \cdot 4^2 a^2 (b^3)^2 = \frac{1}{8}a^6b^3 \cdot 16a^2b^6 = \frac{16}{8}a^{6+2}b^{3+6} = 2a^8b^9 \]

Теперь подставим значения a = \(\frac{1}{2}\) и b = -2:

\[ 2a^8b^9 = 2\left(\frac{1}{2}\right)^8(-2)^9 = 2\left(\frac{1}{256}\right)(-512) = \frac{2}{256}(-512) = \frac{1}{128}(-512) = -\frac{512}{128} = -4 \]

Проверяем вычисления:

\[ 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot (-2)^9 = 2 \cdot \frac{1}{256} \cdot (-512) = -\frac{1024}{256} = -4 \]

В вычислениях была допущена ошибка.

\[ \left(\frac{1}{2}a^2b\right)^3 \cdot (4ab^3)^2 = \frac{1}{8}a^6b^3 \cdot 16a^2b^6 = \frac{16}{8}a^{6+2}b^{3+6} = 2a^8b^9 \] \[ 2a^8b^9 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot (-2)^9 = 2 \cdot \frac{1}{2^8} \cdot (-2)^9 = 2 \cdot \frac{1}{256} \cdot (-512) = 2 \cdot \frac{-512}{256} = 2 \cdot (-2) = -4 \]

Еще раз проверяем, не ошибся ли я где-то:

\[ \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot (-2)\right)^3 \cdot \left(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-2)^3\right)^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot (-2)\right)^3 \cdot \left(2 \cdot (-8)\right)^2 = \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \cdot (-16)^2 = -\frac{1}{64} \cdot 256 = -4 \]

Ответ: -4