1239. Найдите значение выражения (\frac{\(√7+√5\)}{\(6+√35\)})^2

Шаг 1: Запишем выражение: \((\frac{\(\sqrt{7} + \sqrt{5}\)}{\(6 + \sqrt{35}\)})^2\).

Шаг 2: Разложим знаменатель: \(6 + \sqrt{35} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 - \sqrt{35}\).

Шаг 3: Попробуем представить знаменатель в виде произведения, чтобы сократить с числителем. Заметим, что \(6 + \sqrt{35} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 - \sqrt{35}\)

Шаг 4: Другой подход: \(\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(6 + \sqrt{35})^2} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{(6 + \sqrt{35})^2} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{(6 + \sqrt{35})^2} = \frac{2(6 + \sqrt{35})}{(6 + \sqrt{35})^2} = \frac{2}{6 + \sqrt{35}}\)

Шаг 5: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(6 - \sqrt{35}\) для избавления от корня в знаменателе:

\(\frac{2}{6 + \sqrt{35}} \cdot \frac{6 - \sqrt{35}}{6 - \sqrt{35}} = \frac{2(6 - \sqrt{35})}{36 - 35} = \frac{2(6 - \sqrt{35})}{1} = 12 - 2\sqrt{35}\)