1240. Найдите значение выражения (\frac{\(√3+√13\)}{-8-√39\)})^2

Шаг 1: Запишем выражение: \((\frac{\(\sqrt{3} + \sqrt{13}\)}{-8 - \sqrt{39}\)})^2\).

Шаг 2: Упростим числитель: \((\sqrt{3} + \sqrt{13}\)^2 = 3 + 2\sqrt{39} + 13 = 16 + 2\sqrt{39}\).

Шаг 3: Упростим знаменатель: \((-8 - \sqrt{39}\)^2 = 64 + 16\sqrt{39} + 39 = 103 + 16\sqrt{39}\).

Шаг 4: Запишем выражение с упрощенными числителем и знаменателем: \(\frac{16 + 2\sqrt{39}}{103 + 16\sqrt{39}}\)

Шаг 5: Попытаемся упростить выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение для знаменателя: \(\frac{16 + 2\sqrt{39}}{103 + 16\sqrt{39}} \cdot \frac{103 - 16\sqrt{39}}{103 - 16\sqrt{39}}\)

Шаг 6: Раскроем скобки в числителе: \((16 + 2\sqrt{39})(103 - 16\sqrt{39}) = 1648 - 256\sqrt{39} + 206\sqrt{39} - 2 \cdot 16 \cdot 39 = 1648 - 50\sqrt{39} - 1248 = 400 - 50\sqrt{39}\)

Шаг 7: Раскроем скобки в знаменателе: \((103 + 16\sqrt{39})(103 - 16\sqrt{39}) = 103^2 - (16\sqrt{39})^2 = 10609 - 256 \cdot 39 = 10609 - 9984 = 625\)

Шаг 8: Запишем упрощенное выражение: \(\frac{400 - 50\sqrt{39}}{625} = \frac{50(8 - \sqrt{39})}{625} = \frac{8 - \sqrt{39}}{12.5} = \frac{16 - 2\sqrt{39}}{25}\)