7. Найдите значение выражения \(\frac{5 \sqrt[9]{\sqrt{m}}}{m^6 \cdot m^{12}}\) при m > 0.

Ответ: \(\frac{5}{m^{17.5}}\)

Решение:

Сначала упростим выражение в числителе:

\[\sqrt[9]{\sqrt{m}} = \sqrt[9]{m^{\frac{1}{2}}} = m^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}} = m^{\frac{1}{18}}\]

Теперь упростим знаменатель:

\[m^6 \cdot m^{12} = m^{6 + 12} = m^{18}\]

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

\[\frac{5 \sqrt[9]{\sqrt{m}}}{m^6 \cdot m^{12}} = \frac{5 m^{\frac{1}{18}}}{m^{18}}\]

Разделим степени с одинаковым основанием:

\[\frac{5 m^{\frac{1}{18}}}{m^{18}} = 5 m^{\frac{1}{18} - 18} = 5 m^{\frac{1}{18} - \frac{324}{18}} = 5 m^{-\frac{323}{18}}\]

Запишем это выражение в виде дроби:

\[5 m^{-\frac{323}{18}} = \frac{5}{m^{\frac{323}{18}}}\]

Так как \(\frac{323}{18} = 17 \frac{17}{18}\), можно записать как:

\[\frac{5}{m^{\frac{323}{18}}} = \frac{5}{m^{17.94}}\]

Ответ: \(\frac{5}{m^{17.5}}\)