Найдите значение выражения \(\frac{(a^5)^3 \cdot a^6}{a^{22}}\) при a = 2.

Для упрощения данного выражения, воспользуемся свойствами степеней.

1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

2. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\).

3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\).

Применим эти свойства к нашему выражению:

$$\frac{(a^5)^3 \cdot a^6}{a^{22}} = \frac{a^{5 \cdot 3} \cdot a^6}{a^{22}} = \frac{a^{15} \cdot a^6}{a^{22}} = \frac{a^{15 + 6}}{a^{22}} = \frac{a^{21}}{a^{22}} = a^{21 - 22} = a^{-1}$$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим значение (a = 2):

$$a^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$