Найдите значение выражения \(\frac{16x - 25y}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}}\) , если \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3\).

Преобразуем выражение:

$$\frac{16x - 25y}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} = \frac{(4\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}}$$

Воспользуемся формулой разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

$$\frac{(4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} = 4\sqrt{x} + 5\sqrt{y}$$

Теперь нужно выразить \(\sqrt{x}\) через \(\sqrt{y}\) или наоборот. Дано, что \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3\), отсюда \(\sqrt{x} = 3 - \sqrt{y}\).

Подставим это выражение в упрощенное выражение:

$$4\sqrt{x} + 5\sqrt{y} = 4(3 - \sqrt{y}) + 5\sqrt{y} = 12 - 4\sqrt{y} + 5\sqrt{y} = 12 + \sqrt{y}$$

К сожалению, у нас недостаточно информации, чтобы найти точное числовое значение выражения. Если бы было дано значение \(\sqrt{y}\) или \(\sqrt{x}\), мы могли бы найти окончательный ответ.

Ответ: \(12 + \sqrt{y}\)