19. Найдите значение выражения \(\sqrt{88 + 32\sqrt{6}} - 2\sqrt{6}\). Ответ: 8.

Разбираемся: попробуем представить подкоренное выражение в виде полного квадрата.

Пошаговое решение:

1. Пусть \((a + b\sqrt{6})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{6} + 6b^2 = 88 + 32\sqrt{6}\). Тогда \(a^2 + 6b^2 = 88\) и \(2ab = 32\), то есть \(ab = 16\).
2. Попробуем подобрать такие числа. Например, \(a = 8\) и \(b = 2\). Тогда \(a^2 + 6b^2 = 64 + 6 \cdot 4 = 64 + 24 = 88\). Отлично, подходит!
3. Тогда \(\sqrt{88 + 32\sqrt{6}} = \sqrt{(8 + 2\sqrt{6})^2} = |8 + 2\sqrt{6}| = 8 + 2\sqrt{6}\).
4. Подставим это в исходное выражение: \(8 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 8\).

Ответ: 8