Найдите значение выражения \( \sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}} \cdot \sqrt{6} \).

Пошаговое решение:

• Упростим выражение под первым корнем:

\[\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}} = \sqrt{\frac{5(6-\sqrt{6})}{4-\sqrt{6}}} = \sqrt{\frac{5\sqrt{6}(\sqrt{6}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{3})}}\]

• Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 4+\sqrt{6} \):

\[\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} \cdot \frac{4+\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}} = \frac{(30-5\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}{16-6} = \frac{120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 30}{10} = \frac{90 + 10\sqrt{6}}{10} = 9+\sqrt{6}\]

• Теперь исходное выражение принимает вид:

\[\sqrt{9+\sqrt{6}} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6(9+\sqrt{6})} = \sqrt{54+6\sqrt{6}}\]

К сожалению, дальнейшее упрощение без использования сложных методов невозможно. Оставим в таком виде.

Ответ: \(\sqrt{54+6\sqrt{6}}\)