Найдите значение выражения $$\frac{8ab}{a+8b} \cdot (\frac{a}{8b} - \frac{8b}{a})$$ при $$a = 8\sqrt{3} + 7$$, $$b = \sqrt{3} - 3$$

Упростим выражение:

$$ \frac{8ab}{a+8b} \cdot (\frac{a}{8b} - \frac{8b}{a}) = \frac{8ab}{a+8b} \cdot (\frac{a^2 - (8b)^2}{8ab}) = \frac{a^2 - 64b^2}{a+8b} $$

Заметим, что $$a^2 - 64b^2 = (a - 8b)(a + 8b)$$. Тогда:

$$ \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a+8b} = a - 8b $$

Подставим значения $$a$$ и $$b$$:

$$ a - 8b = (8\sqrt{3} + 7) - 8(\sqrt{3} - 3) = 8\sqrt{3} + 7 - 8\sqrt{3} + 24 = 31 $$

Ответ: 31