Найдите значение выражения: а) $$\frac{32^{-9} \cdot 8^4}{(4^{-8})^2}$$; б) $$(3\frac{7}{30} - 1\frac{5}{12}) : 18\frac{1}{6}$$

Решение задачи 1a:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней.

$$ \frac{32^{-9} \cdot 8^4}{(4^{-8})^2} $$

Заметим, что $$32 = 2^5$$, $$8 = 2^3$$, $$4 = 2^2$$. Тогда:

$$ = \frac{(2^5)^{-9} \cdot (2^3)^4}{((2^2)^{-8})^2} $$

Применяем свойство $$(a^b)^c = a^{b \cdot c}$$:

$$ = \frac{2^{-45} \cdot 2^{12}}{(2^{-16})^2} $$ $$ = \frac{2^{-45+12}}{2^{-32}} $$ $$ = \frac{2^{-33}}{2^{-32}} $$

Применяем свойство $$\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$$:

$$ = 2^{-33 - (-32)} $$ $$ = 2^{-33 + 32} $$ $$ = 2^{-1} $$ $$ = \frac{1}{2} $$ $$ = 0.5 $$

Ответ: 0.5

Решение задачи 1б:

Выполним действия с дробями.

$$ (3\frac{7}{30} - 1\frac{5}{12}) : 18\frac{1}{6} $$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$$ = (\frac{3 \cdot 30 + 7}{30} - \frac{1 \cdot 12 + 5}{12}) : \frac{18 \cdot 6 + 1}{6} $$ $$ = (\frac{97}{30} - \frac{17}{12}) : \frac{109}{6} $$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для 30 и 12 равен 60.

$$ = (\frac{97 \cdot 2}{30 \cdot 2} - \frac{17 \cdot 5}{12 \cdot 5}) : \frac{109}{6} $$ $$ = (\frac{194}{60} - \frac{85}{60}) : \frac{109}{6} $$ $$ = \frac{194 - 85}{60} : \frac{109}{6} $$ $$ = \frac{109}{60} : \frac{109}{6} $$

Разделим дроби. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую дробь.

$$ = \frac{109}{60} \cdot \frac{6}{109} $$

Сократим:

$$ = \frac{1}{10} $$ $$ = 0.1 $$

Ответ: 0.1