20. Найдите значение выражения (√6+√15)²/7+2√10. Запишите решение и ответ.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Раскроем скобки в числителе: \[(\sqrt{6} + \sqrt{15})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 6 + 2\sqrt{90} + 15 = 21 + 2\sqrt{9 \cdot 10} = 21 + 2 \cdot 3\sqrt{10} = 21 + 6\sqrt{10}\]
2. Теперь выражение имеет вид: \[\frac{21 + 6\sqrt{10}}{7 + 2\sqrt{10}}\]
3. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на \(7 - 2\sqrt{10}\): \[\frac{(21 + 6\sqrt{10})(7 - 2\sqrt{10})}{(7 + 2\sqrt{10})(7 - 2\sqrt{10})}\]
4. Раскроем скобки в числителе: \[(21 + 6\sqrt{10})(7 - 2\sqrt{10}) = 21 \cdot 7 - 21 \cdot 2\sqrt{10} + 6\sqrt{10} \cdot 7 - 6\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} = 147 - 42\sqrt{10} + 42\sqrt{10} - 12 \cdot 10 = 147 - 120 = 27\]
5. Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов: \[(7 + 2\sqrt{10})(7 - 2\sqrt{10}) = 7^2 - (2\sqrt{10})^2 = 49 - 4 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\]
6. Теперь выражение имеет вид: \[\frac{27}{9}\]
7. Упростим дробь: \[\frac{27}{9} = 3\]

Ответ: 3