Найдите значение выражения √7-4√3+√3. Решение.

Для упрощения выражения $$ \sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{3} $$, попробуем представить подкоренное выражение $$ 7-4\sqrt{3} $$ в виде полного квадрата.

Предположим, что $$ 7-4\sqrt{3} = (a - b\sqrt{3})^2 $$. Тогда

$$ (a - b\sqrt{3})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{3} + 3b^2 = a^2 + 3b^2 - 2ab\sqrt{3} $$

Сравним это выражение с $$ 7-4\sqrt{3} $$. Получаем систему уравнений:

$$ a^2 + 3b^2 = 7 $$

$$ 2ab = 4 $$ или $$ ab = 2 $$

Из второго уравнения выразим $$ a = \frac{2}{b} $$. Подставим это в первое уравнение:

$$ (\frac{2}{b})^2 + 3b^2 = 7 $$ $$ \frac{4}{b^2} + 3b^2 = 7 $$

Умножим на $$ b^2 $$:

$$ 4 + 3b^4 = 7b^2 $$ $$ 3b^4 - 7b^2 + 4 = 0 $$

Обозначим $$ x = b^2 $$. Получаем квадратное уравнение:

$$ 3x^2 - 7x + 4 = 0 $$

Найдем дискриминант: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 $$

$$ x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$

$$ x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$

Следовательно, $$ b^2 = 1 $$ или $$ b^2 = \frac{4}{3} $$.

Если $$ b^2 = 1 $$, то $$ b = 1 $$. Тогда $$ a = \frac{2}{1} = 2 $$. Проверим: $$ (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} $$.

Итак, $$ \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} $$, так как $$ 2 > \sqrt{3} $$.

Тогда

$$ \sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 $$

Ответ: 2