17. Найдите значение выражения √ (30-5√6)/(4-√6) - √6.

Пошаговое решение:

1. Упростим выражение под корнем:
   • \[ \sqrt{\frac{30 - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}}} - \sqrt{6} \]
2. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю:
   • \[ \sqrt{\frac{(30 - 5\sqrt{6})(4 + \sqrt{6})}{(4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6})}} - \sqrt{6} \]
   • \[ \sqrt{\frac{120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 30}{16 - 6}} - \sqrt{6} \]
   • \[ \sqrt{\frac{90 + 10\sqrt{6}}{10}} - \sqrt{6} \]
   • \[ \sqrt{9 + \sqrt{6}} - \sqrt{6} \]
3. Заметим, что \( 9 + \sqrt{6} \) не является полным квадратом. Попробуем выразить \( 30 - 5\sqrt{6} \) как квадрат разности:
   • \( 30 - 5\sqrt{6} = (a - b\sqrt{6})^2 = a^2 + 6b^2 - 2ab\sqrt{6} \)
   • Тогда \( a^2 + 6b^2 = 30 \) и \( 2ab = 5 \). Решения в целых числах нет.
4. Однако, можно заметить, что \[ \sqrt{\frac{30 - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}}} = \sqrt{\frac{5(6 - \sqrt{6})}{4 - \sqrt{6}}} \]. Если \( 6 - \sqrt{6} = (4 - \sqrt{6})k \), то \( k \approx \frac{6 - 2.45}{4 - 2.45} \approx \frac{3.55}{1.55} \approx 2.29 \). Не подходит.
5. Умножим числитель и знаменатель на \(4 + \sqrt{6}\):
   • \( \sqrt{\frac{30 - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}}} = \sqrt{\frac{(30 - 5\sqrt{6})(4 + \sqrt{6})}{(4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6})}} = \sqrt{\frac{120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 30}{16 - 6}} = \sqrt{\frac{90 + 10\sqrt{6}}{10}} = \sqrt{9 + \sqrt{6}} \)
6. Попробуем представить \( 9 + \sqrt{6} \) в виде \( (a + b\sqrt{6})^2 = a^2 + 6b^2 + 2ab\sqrt{6} \). Тогда \( a^2 + 6b^2 = 9 \) и \( 2ab = 1 \), откуда \( b = \frac{1}{2a} \). Имеем \( a^2 + \frac{6}{4a^2} = 9 \), или \( 4a^4 - 36a^2 + 6 = 0 \), \( 2a^4 - 18a^2 + 3 = 0 \). Тоже нет целых решений.

Так как \( \sqrt{9 + \sqrt{6}} \) не упрощается до рационального числа, то искомое выражение упростить не получается.

Пусть \[ A = \sqrt{9 + \sqrt{6}} - \sqrt{6} \approx \sqrt{9 + 2.45} - 2.45 \approx \sqrt{11.45} - 2.45 \approx 3.38 - 2.45 = 0.93 \]

Ответ: \( \sqrt{9 + \sqrt{6}} - \sqrt{6} \) (приблизительно равно 0.93)