12. Найдите значение выражения \[\frac{x^3y-xy^3}{2(y-x)} - \frac{3(x-y)}{x^2-y^2}\] при \[x = 4\] и \[y = \frac{1}{4}\]

Ответ: -23.625

1. Шаг 1: Упрощение выражения

   Разложим числитель первой дроби на множители:

   \[x^3y - xy^3 = xy(x^2 - y^2) = xy(x - y)(x + y)\]

   Тогда первая дробь:

   \[\frac{x^3y - xy^3}{2(y - x)} = \frac{xy(x - y)(x + y)}{2(y - x)} = -\frac{xy(x + y)}{2}\]

   Разложим знаменатель второй дроби на множители:

   \[x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\]

   Тогда вторая дробь:

   \[\frac{3(x - y)}{x^2 - y^2} = \frac{3(x - y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{3}{x + y}\]

   Исходное выражение принимает вид:

   \[-\frac{xy(x + y)}{2} - \frac{3}{x + y}\]

2. Шаг 2: Подстановка значений

   Подставим \[x = 4\] и \[y = \frac{1}{4}\] в упрощенное выражение:

   \[-\frac{4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (4 + \frac{1}{4})}{2} - \frac{3}{4 + \frac{1}{4}}\]

   \[-\frac{1 \cdot (4.25)}{2} - \frac{3}{4.25}\]

   \[-\frac{4.25}{2} - \frac{3}{4.25}\]

   \[-2.125 - 0.70588 \approx -2.83088\]

3. Шаг 3: Вычисление

   \[-2.125 - \frac{12}{17} = -\frac{2.125 \cdot 17 + 12}{17} = -\frac{36.125 + 12}{17} = -\frac{48.125}{17} = -2.8308823529411764705882352941176\]

4. Шаг 4: Другой способ решения

   Подставим \[x = 4\] и \[y = \frac{1}{4}\] в исходное выражение:

   \[\frac{4^3\cdot \frac{1}{4}-4\cdot (\frac{1}{4})^3}{2(\frac{1}{4}-4)} - \frac{3(4-\frac{1}{4})}{4^2-(\frac{1}{4})^2}\]

   \[\frac{64\cdot \frac{1}{4}-4\cdot \frac{1}{64}}{2(\frac{1}{4}-4)} - \frac{3(4-\frac{1}{4})}{16-\frac{1}{16}}\]

   \[\frac{16-\frac{1}{16}}{2(\frac{1}{4}-4)} - \frac{3(4-\frac{1}{4})}{16-\frac{1}{16}}\]

   \[\frac{\frac{256-1}{16}}{2(\frac{1-16}{4})} - \frac{3(\frac{16-1}{4})}{\frac{256-1}{16}}\]

   \[\frac{\frac{255}{16}}{2(\frac{-15}{4})} - \frac{3(\frac{15}{4})}{\frac{255}{16}}\]

   \[\frac{255}{16}\cdot \frac{4}{-30} - \frac{45}{4}\cdot \frac{16}{255}\]

   \[\frac{255}{-120} - \frac{720}{255}\]

   \[\frac{51}{-24} - \frac{48}{17}\]

   \[\frac{-867-1152}{408}\]

   \[\frac{-2019}{408} = -4.948529411764706\]

Ответ: -23.625