Найдите значение выражения 60·tg²(β), если sin(3β)/sin(β) + cos(3β)/cos(β) = 1.

Решение:

1. Запишем данное выражение: \( \frac{\sin(3\beta)}{\sin(\beta)} + \frac{\cos(3\beta)}{\cos(\beta)} = 1 \)
2. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{\sin(3\beta)\cos(\beta) + \cos(3\beta)\sin(\beta)}{\sin(\beta)\cos(\beta)} = 1 \)
3. Используем формулу синуса суммы \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \): \( \frac{\sin(3\beta + \beta)}{\sin(\beta)\cos(\beta)} = 1 \)
4. \( \frac{\sin(4\beta)}{\sin(\beta)\cos(\beta)} = 1 \)
5. Используем формулу двойного угла \( \sin(2A) = 2 \sin A \cos A \), значит \( \sin(\beta)\cos(\beta) = \frac{1}{2} \sin(2\beta) \): \( \frac{\sin(4\beta)}{\frac{1}{2} \sin(2\beta)} = 1 \)
6. \( 2 \frac{\sin(4\beta)}{\sin(2\beta)} = 1 \)
7. Используем формулу синуса двойного угла \( \sin(4\beta) = 2 \sin(2\beta)\cos(2\beta) \): \( 2 \frac{2 \sin(2\beta)\cos(2\beta)}{\sin(2\beta)} = 1 \)
8. \( 4 \cos(2\beta) = 1 \)
9. \( \cos(2\beta) = \frac{1}{4} \)
10. Найдём \( \operatorname{tg}^2(\beta) \). Используем формулу \( \cos(2\beta) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\beta)}{1 + \operatorname{tg}^2(\beta)} \): \( \frac{1}{4} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\beta)}{1 + \operatorname{tg}^2(\beta)} \)
11. \( 1 + \operatorname{tg}^2(\beta) = 4(1 - \operatorname{tg}^2(\beta)) \)
12. \( 1 + \operatorname{tg}^2(\beta) = 4 - 4 \operatorname{tg}^2(\beta) \)
13. \( 5 \operatorname{tg}^2(\beta) = 3 \)
14. \( \operatorname{tg}^2(\beta) = \frac{3}{5} \)
15. Теперь вычислим искомое выражение: \( 60 \operatorname{tg}^2(\beta) = 60 \cdot \frac{3}{5} = 12 \cdot 3 = 36 \)

Ответ: 36