Решите неравенство log₂(16x) - 11·log₂(x) > 26. В ответ запишите значение выражения k·n, где k — количество всех целых решений данного неравенства на промежутке (-3; 36), n — наименьшее натуральное решение данного неравенства.

Решение:

1. Запишем неравенство: \( \log_2(16x) - 11 \log_2(x) > 26 \)
2. Используем свойство логарифма \( \log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c) \): \( \log_2(16) + \log_2(x) - 11 \log_2(x) > 26 \)
3. \( 4 + \log_2(x) - 11 \log_2(x) > 26 \)
4. \( 4 - 10 \log_2(x) > 26 \)
5. \( -10 \log_2(x) > 22 \)
6. \( \log_2(x) < -2.2 \)
7. Переведём логарифм в экспоненту: \( x < 2^{-2.2} \)
8. Вычислим \( 2^{-2.2} \approx 0.21 \)
9. Таким образом, \( x < 0.21 \)
10. Учитывая область определения логарифма \( x > 0 \), получаем \( 0 < x < 0.21 \).
11. Целые решения на промежутке \( (-3; 36) \) отсутствуют. Следовательно, \( k = 0 \).
12. Наименьшее натуральное решение — это наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условию \( x < 0.21 \). Таких чисел нет. Однако, если предположить, что имелось в виду наименьшее натуральное решение для какого-то другого неравенства, и задача сформулирована не совсем корректно, то наименьшим натуральным числом является 1. Но исходя строго из условия \( x < 0.21 \), натуральных решений нет. Если интерпретировать \(n\) как наименьшее натуральное число, то \(n = 1\).
13. Если \(k = 0\) и \(n = 1\), то \( k · n = 0 · 1 = 0 \).

Ответ: 0