Найдите значение выражения \( 6x \cdot (8x^6)^2 : (8x^4)^3 \) при \( x = 60 \).

Решение:

1. Упростим выражение:
   \( (8x^6)^2 = 8^2 \cdot (x^6)^2 = 64 \cdot x^{12} \)
2. \( (8x^4)^3 = 8^3 \cdot (x^4)^3 = 512 \cdot x^{12} \)
3. Подставим упрощённые множители в исходное выражение:
   \( 6x \cdot (64x^{12}) : (512x^{12}) \)
4. \( \frac{6x \cdot 64x^{12}}{512x^{12}} \)
5. Сократим \( x^{12} \) в числителе и знаменателе:
6. \( \frac{6x \cdot 64}{512} \)
7. Выполним умножение в числителе: \( 6 \times 64 = 384 \)
8. \( \frac{384x}{512} \)
9. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Заметим, что 512 = 384 + 128. Оба числа делятся на 128.
10. \( 384 \div 128 = 3 \)
11. \( 512 \div 128 = 4 \)
12. Итак, выражение упрощается до \( \frac{3x}{4} \).
13. Подставим значение \( x = 60 \):
14. \( \frac{3 \times 60}{4} \)
15. \( \frac{180}{4} \)
16. \( 45 \)

Ответ: 45