Найдите значение выражения (b⁻²⁰ ⋅ a²²)³ ⋅ (b²¹ ⋅ a⁻²³ )⁴ при a = 13⁄20, b = 12√14.

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней \( (x^m)^n = x^{m · n} \) и \( x^m · x^n = x^{m+n} \):
2. \( (b^{-20} · a^{22})^3 = b^{-20 · 3} · a^{22 · 3} = b^{-60} · a^{66} \)
3. \( (b^{21} · a^{-23})^4 = b^{21 · 4} · a^{-23 · 4} = b^{84} · a^{-92} \)
4. Перемножим полученные выражения:
5. \( b^{-60} · a^{66} · b^{84} · a^{-92} = b^{-60 + 84} · a^{66 - 92} = b^{24} · a^{-26} \)
6. Подставим значения \( a = \frac{13}{20} \) и \( b = \frac{12}{\sqrt[12]{14}} \):
7. \( b^{24} = \left( \frac{12}{\sqrt[12]{14}} \right)^{24} = \frac{12^{24}}{(\sqrt[12]{14})^{24}} = \frac{12^{24}}{14^2} \)
8. \( a^{-26} = \left( \frac{13}{20} \right)^{-26} = \left( \frac{20}{13} \right)^{26} \)
9. Таким образом, выражение равно:
10. \( \frac{12^{24}}{14^2} · \left( \frac{20}{13} \right)^{26} \)

Ответ: \( b^{24} · a^{-26} \)