Найдите значение выражения (b⁻²⁰ ⋅ a²²)³ ⋅ (b²¹ ⋅ a⁻²³)⁴ при a = \(\sqrt[13]{20}\) и b = \(\sqrt[12]{14}\).

Решение:

Упростим выражение:

\( (b^{-20} \cdot a^{22})^3 \cdot (b^{21} \cdot a^{-23})^4 = b^{-20 \cdot 3} \cdot a^{22 \cdot 3} \cdot b^{21 \cdot 4} \cdot a^{-23 \cdot 4} \)

\( = b^{-60} \cdot a^{66} \cdot b^{84} \cdot a^{-92} \)

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\( = (b^{-60} \cdot b^{84}) \cdot (a^{66} \cdot a^{-92}) \)

\( = b^{-60+84} \cdot a^{66-92} \)

\( = b^{24} \cdot a^{-26} \)

Теперь подставим значения \( a \) и \( b \).

\( b = \sqrt[12]{14} = 14^{1/12} \)

\( b^{24} = (14^{1/12})^{24} = 14^{(1/12) \cdot 24} = 14^2 = 196 \)

\( a = \sqrt[13]{20} = 20^{1/13} \)

\( a^{-26} = (20^{1/13})^{-26} = 20^{(1/13) \cdot (-26)} = 20^{-2} = \frac{1}{20^2} = \frac{1}{400} \)

Теперь перемножим полученные значения:

\( b^{24} \cdot a^{-26} = 196 \cdot \frac{1}{400} = \frac{196}{400} \)

Сократим дробь:

\( \frac{196}{400} = \frac{49 \cdot 4}{100 \cdot 4} = \frac{49}{100} = 0,49 \)

Ответ: 0,49