Найдите значение выражения \(\frac{3(6a^2)^2}{a^5a^7}\) при \( a = \sqrt{8} \).

Решение:

Сначала упростим данное выражение:

1. \( \frac{3(6a^2)^2}{a^5a^7} = \frac{3 \cdot 36a^4}{a^{12}} \)
2. \( = \frac{108a^4}{a^{12}} \)
3. \( = 108a^{4-12} \)
4. \( = 108a^{-8} \)
5. \( = \frac{108}{a^8} \)

Теперь подставим значение \( a = \sqrt{8} \):

1. \( a^8 = (\sqrt{8})^8 \)
2. \( = (8^{1/2})^8 \)
3. \( = 8^{(1/2) \times 8} \)
4. \( = 8^4 \)
5. \( = 4096 \)

Подставим полученное значение в упрощённое выражение:

1. \( \frac{108}{4096} \)
2. Сократим дробь. Оба числа делятся на 4: \( \frac{108 \div 4}{4096 \div 4} = \frac{27}{1024} \)

Ответ: \( \frac{27}{1024} \).