Найдите значение выражения $$\frac{5^7 \cdot 9^9}{45^8}$$.

Решение:

1. Представим число 9 как \(3^2\) и число 45 как \(5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2\).
2. Подставим эти значения в выражение: \[ \frac{5^7 \cdot (3^2)^9}{(5 \cdot 3^2)^8} \]
3. Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) и \((ab)^n = a^n b^n\): \[ \frac{5^7 \cdot 3^{18}}{5^8 \cdot (3^2)^8} = \frac{5^7 \cdot 3^{18}}{5^8 \cdot 3^{16}} \]
4. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \[ 5^{7-8} \cdot 3^{18-16} = 5^{-1} \cdot 3^2 \]
5. Перепишем отрицательный показатель степени \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\): \[ \frac{1}{5^1} \cdot 3^2 = \frac{1}{5} \cdot 9 = \frac{9}{5} \]

Ответ: $$\frac{9}{5}$$