Найдите значение выражения \frac{6^{5}}{2^{3} \cdot 3^{4}}.

Краткое пояснение:

Для решения приведем число 6 в числителе к произведению его простых множителей (2 и 3), затем применим свойства степеней и выполним сокращение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим 6 как произведение 2 и 3: \( 6 = 2 \cdot 3 \).
2. Шаг 2: Заменим 6 в числителе: \( \frac{(2 \cdot 3)^{5}}{2^{3} \cdot 3^{4}} \).
3. Шаг 3: Применим свойство степени к произведению: \( (2 \cdot 3)^{5} = 2^{5} \cdot 3^{5} \).
4. Шаг 4: Перепишем выражение: \( \frac{2^{5} \cdot 3^{5}}{2^{3} \cdot 3^{4}} \).
5. Шаг 5: Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{2^{5}}{2^{3}} = 2^{5-3} = 2^{2} \) и \( \frac{3^{5}}{3^{4}} = 3^{5-4} = 3^{1} \).
6. Шаг 6: Перемножим полученные результаты: \( 2^{2} \cdot 3^{1} \).
7. Шаг 7: Вычислим: \( 2^{2} = 4 \) и \( 3^{1} = 3 \).
8. Шаг 8: Умножим: \( 4 \cdot 3 = 12 \).

Ответ: 12