Найдите значение выражения $$\frac{a^{21} \cdot a^{-12}}{a^3}$$ при $$a = 2$$.

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$.
2. \[ a^{21} \cdot a^{-12} = a^{21 + (-12)} = a^{21 - 12} = a^9 \]
3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.
4. \[ \frac{a^9}{a^3} = a^{9-3} = a^6 \]
5. Теперь подставим значение $$a = 2$$ в упрощенное выражение.
6. \[ 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 \]

Ответ: 64