Найдите значение выражения $$ \frac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}} \text{ при } a = 5 \text{ и } b = \sqrt{5} $$

Дано:

• \[ \frac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}} \text{ при } a = 5 \text{ и } b = \sqrt{5} \]

Решение:

1. Упростим числитель, используя свойство степеней $$(x^m)^n = x^{m cdot n}$$:
   • $$(b^9)^2 = b^{9 cdot 2} = b^{18}$$
   • Числитель: $$a^{21} \cdot b^{18}$$
2. Упростим знаменатель, используя свойство степеней $$(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$$:
   • $$(a \cdot b)^{18} = a^{18} \cdot b^{18}$$
3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:
   • \[ \frac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}} \]
4. Сократим одинаковые множители $$b^{18}$$ и применим свойство степени $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:
   • \[ \frac{a^{21}}{a^{18}} = a^{21-18} = a^3 \]
5. Подставим заданные значения $$a = 5$$ и $$b = \sqrt{5}$$:
   • Наше упрощенное выражение равно $$a^3$$.
   • $$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$$

Ответ: 125