Найдите значение выражения $$\frac{a^{\frac{7}{4}}\sqrt{a^3}}{a^8}$$ при $$a = 0,0625$$.

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( \frac{a^{\frac{7}{4}}\sqrt{a^3}}{a^8} = \frac{a^{\frac{7}{4}} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^8} \)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\( = \frac{a^{\frac{7}{4} + \frac{3}{2}}}{a^8} = \frac{a^{\frac{7}{4} + \frac{6}{4}}}{a^8} = \frac{a^{\frac{13}{4}}}{a^8} \)

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\( = a^{\frac{13}{4} - 8} = a^{\frac{13}{4} - \frac{32}{4}} = a^{-\frac{19}{4}} \)

Теперь подставим значение \( a = 0,0625 \). Заметим, что \( 0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} = 2^{-4} \).

\( a^{-\frac{19}{4}} = (2^{-4})^{-\frac{19}{4}} \)

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\( = 2^{(-4) \cdot (-\frac{19}{4})} = 2^{19} \)

\( 2^{10} = 1024 \)

\( 2^{19} = 2^9 \cdot 2^{10} = 512 \cdot 1024 = 524288 \)

Ответ: 524288.