Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} \).

Решение:

Используем свойства корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) и \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \):

\( \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 14}{6}} \)

Разложим числа на множители, чтобы упростить:

\( 21 = 3 \cdot 7 \)

\( 14 = 2 \cdot 7 \)

\( 6 = 2 \cdot 3 \)

Подставим в выражение под корнем:

\( \frac{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7^2}{2 \cdot 3} \)

Сократим одинаковые множители:

\( \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 7^2}{\cancel{2} \cdot \cancel{3}} = 7^2 = 49 \)

Теперь извлечём корень:

\( \sqrt{49} = 7 \)

Ответ: 7.