Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}-\sqrt{7}}$$

Решение:

Чтобы найти значение выражения, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, то есть на \( \sqrt{3} + \sqrt{7} \).

\( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{(\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{7})} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{7}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \)

\( = \sqrt{15} + \sqrt{35} - \sqrt{21} - 7 \)

Раскроем скобки в знаменателе (используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)):

\( (\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{7}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 3 - 7 = -4 \)

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

\( \frac{\sqrt{15} + \sqrt{35} - \sqrt{21} - 7}{-4} \)

Изменим знак у числителя, так как знаменатель отрицательный:

\( \frac{-(\sqrt{15} + \sqrt{35} - \sqrt{21} - 7)}{4} = \frac{-\sqrt{15} - \sqrt{35} + \sqrt{21} + 7}{4} \)

Перепишем в более привычном виде:

\( \frac{7 + \sqrt{21} - \sqrt{15} - \sqrt{35}}{4} \)

Ответ: $$\frac{7 + \sqrt{21} - \sqrt{15} - \sqrt{35}}{4}$$.