Найдите значение выражения: \( \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - b}{2\sqrt{ab} + 2b + 1} \) при \( a = 5, b = 2 \).

Решение:

1. Раскроем квадрат суммы в числителе: \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \).
2. Подставим это в числитель: \( a + 2\sqrt{ab} + b - b = a + 2\sqrt{ab} \).
3. Выражение примет вид: \( \frac{a + 2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} + 2b + 1} \).
4. Подставим значения \( a = 5 \) и \( b = 2 \): \( \frac{5 + 2\sqrt{5 \cdot 2}}{2\sqrt{5 \cdot 2} + 2 · 2 + 1} = \frac{5 + 2\sqrt{10}}{2\sqrt{10} + 4 + 1} = \frac{5 + 2\sqrt{10}}{2\sqrt{10} + 5} \).
5. Сократим полученную дробь: \( \frac{5 + 2\sqrt{10}}{5 + 2\sqrt{10}} = 1 \).

Ответ: 1.