Найдите значение выражения \(\frac{x^2y - xy^2}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2 - y^2}\) при \(x=4\) и \(y=\frac{1}{4}\).

Пошаговое решение:

1. Упрощение выражения:
• Вынесем \(xy\) из числителя первой дроби: \(x^2y - xy^2 = xy(x-y)\).
• Заметим, что \(y-x = -(x-y)\) и \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\).
• Подставим упрощенные части в исходное выражение:
\( \frac{xy(x-y)}{2(-(x-y))} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} \)
2. Сократим одинаковые множители:
\( \frac{xy}{-2} \cdot \frac{3}{x+y} \)
3. Умножим оставшиеся выражения:
\( \frac{-3xy}{2(x+y)} \)
4. Подстановка значений: \(x=4\) и \(y=\frac{1}{4}\).
5. Вычислим сумму \(x+y\):
\( 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} \)
6. Вычислим произведение \(xy\):
\( 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \)
7. Подставим полученные значения в упрощенное выражение:
\( \frac{-3 \cdot 1}{2 \cdot \frac{17}{4}} \)
8. Вычислим знаменатель:
\( 2 \cdot \frac{17}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2} \)
9. Вычислим конечное значение:
\( \frac{-3}{\frac{17}{2}} = -3 \cdot \frac{2}{17} = -\frac{6}{17} \)

Ответ: -\( \frac{6}{17} \)