Найдите значение выражения \(\frac{a^{-2}}{\sqrt[4]{a^7} \cdot a^{-4}}\) при \(a = 81\).

Для начала упростим выражение, используя свойства степеней и корней: \(\frac{a^{-2}}{\sqrt[4]{a^7} \cdot a^{-4}} = \frac{a^{-2}}{a^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-4}}\) Теперь упростим знаменатель: \(a^{\frac{7}{4}} \cdot a^{-4} = a^{\frac{7}{4} - 4} = a^{\frac{7}{4} - \frac{16}{4}} = a^{-\frac{9}{4}}\) Теперь выражение имеет вид: \(\frac{a^{-2}}{a^{-\frac{9}{4}}} = a^{-2 - (-\frac{9}{4})} = a^{-2 + \frac{9}{4}} = a^{-\frac{8}{4} + \frac{9}{4}} = a^{\frac{1}{4}} \) Теперь подставим \(a = 81\): \(81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3\) Ответ: **3**