Найдите значение выражения \( \sqrt{(5\sqrt{2}-8)^2} + 5\sqrt{2} \).

Решение:

Сначала упростим выражение под корнем, используя формулу \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). В данном случае \( a = 5\sqrt{2} \) и \( b = 8 \).

\( (5\sqrt{2}-8)^2 = (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 8 + 8^2 \)

\[ (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \]

\[ 2 \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 8 = 80\sqrt{2} \]

\[ 8^2 = 64 \]

Таким образом, \( (5\sqrt{2}-8)^2 = 50 - 80\sqrt{2} + 64 = 114 - 80\sqrt{2} \).

Теперь рассмотрим квадратный корень из этого выражения: \( \sqrt{(5\sqrt{2}-8)^2} \).

Мы знаем, что \( \sqrt{x^2} = |x| \). Поэтому \( \sqrt{(5\sqrt{2}-8)^2} = |5\sqrt{2}-8| \).

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения \( 5\sqrt{2}-8 \).

Возведём \( 5\sqrt{2} \) и \( 8 \) в квадрат:

\[ (5\sqrt{2})^2 = 50 \]

\[ 8^2 = 64 \]

Так как \( 50 < 64 \), то \( 5\sqrt{2} < 8 \). Следовательно, \( 5\sqrt{2}-8 < 0 \).

При раскрытии модуля отрицательного выражения, мы меняем знак на противоположный:

\[ |5\sqrt{2}-8| = -(5\sqrt{2}-8) = 8 - 5\sqrt{2} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \sqrt{(5\sqrt{2}-8)^2} + 5\sqrt{2} = (8 - 5\sqrt{2}) + 5\sqrt{2} \]

Сокращаем \( -5\sqrt{2} \) и \( +5\sqrt{2} \):

\[ 8 - 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8 \]

Ответ: 8.