Найдите значение выражения tga, если cosa = \(\frac{5\sqrt{26}}{26}\) и а\(\in\)\(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\).

Решение:

Нам дано значение косинуса угла \(a\) и диапазон, в котором находится угол: \( a \in (0; \frac{\pi}{2}) \). Этот диапазон означает, что угол \(a\) находится в первой четверти, где все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

Сначала найдем синус угла \(a\), используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

\[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \]

Подставим значение \( \cos a = \frac{5\sqrt{26}}{26} \):

\[ \cos^2 a = \left( \frac{5\sqrt{26}}{26} \right)^2 = \frac{25 \times 26}{26^2} = \frac{25 \times 26}{26 \times 26} = \frac{25}{26} \]

Теперь найдем \( \sin^2 a \):

\[ \sin^2 a = 1 - \frac{25}{26} = \frac{26}{26} - \frac{25}{26} = \frac{1}{26} \]

Так как угол \(a\) находится в первой четверти, его синус положительный:

\[ \sin a = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} \]

Теперь найдем тангенс угла \(a\), используя формулу \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \):

\[ \tan a = \frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}} \]

Чтобы разделить дроби, умножим первую дробь на обратную второй:

\[ \tan a = \frac{\sqrt{26}}{26} \times \frac{26}{5\sqrt{26}} \]

Сокращаем \( \sqrt{26} \) и \( 26 \):

\[ \tan a = \frac{1}{5} \]

Ответ: \(\frac{1}{5}\)