Найдите значение выражения 8x xy+y² 4x x+y при х = √3, у = -5,2.

Ответ: 2.6

Выполним подстановку значений переменных в выражение: \[\frac{\sqrt{3} \cdot (-5.2) + (-5.2)^2}{8\sqrt{3}} - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + (-5.2)}\]

Преобразуем выражение: \[\frac{\sqrt{3} \cdot (-5.2) + (-5.2)^2}{8\sqrt{3}} - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 5.2} = \frac{-5.2\sqrt{3} + 27.04}{8\sqrt{3}} - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 5.2}\]

Приведем к общему знаменателю: \[\frac{(-5.2\sqrt{3} + 27.04)(\sqrt{3} - 5.2) - 4\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3}}{8\sqrt{3}(\sqrt{3} - 5.2)}\]

Раскроем скобки и упростим числитель: \[\frac{-5.2 \cdot 3 + 27.04\sqrt{3} + 5.2^2\sqrt{3} - 27.04 \cdot 5.2 - 32 \cdot 3}{8\sqrt{3}(\sqrt{3} - 5.2)} = \frac{-15.6 + 27.04\sqrt{3} + 27.04\sqrt{3} - 140.608 - 96}{8\sqrt{3}(\sqrt{3} - 5.2)}\] \[= \frac{-252.208 + 54.08\sqrt{3}}{8\sqrt{3}(\sqrt{3} - 5.2)}\]

Упростим знаменатель: \[\frac{-252.208 + 54.08\sqrt{3}}{24 - 41.6\sqrt{3}}\]

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю: \[\frac{(-252.208 + 54.08\sqrt{3})(24 + 41.6\sqrt{3})}{(24 - 41.6\sqrt{3})(24 + 41.6\sqrt{3})}\]

Упростим: \[\frac{-6052.992 - 10492.0048\sqrt{3} + 1297.92\sqrt{3} + 9331.2 \cdot 3}{576 - 41.6^2 \cdot 3}\] \[= \frac{-6052.992 - 9194.0848\sqrt{3} + 27993.6}{576 - 5191.68} = \frac{21940.608 - 9194.0848\sqrt{3}}{-4615.68}\]

Приблизительно: \[\frac{21940.608 - 9194.0848 \cdot 1.732}{-4615.68} = \frac{21940.608 - 15924.988}{-4615.68} = \frac{6015.62}{-4615.68} \approx -1.303\]

Но можно проще: \[\frac{xy+y^2}{8x} - \frac{4x}{x+y} = \frac{y(x+y)}{8x} - \frac{4x}{x+y}\] \[= \frac{y(x+y)^2 - 32x^2}{8x(x+y)}\]

Подставим значения: \[\frac{-5.2(\sqrt{3}-5.2)^2 - 32 \cdot 3}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-5.2(3 - 10.4\sqrt{3} + 27.04) - 96}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-5.2(30.04 - 10.4\sqrt{3}) - 96}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)}\] \[= \frac{-156.208 + 54.08\sqrt{3} - 96}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-252.208 + 54.08\sqrt{3}}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)}\]

И тут те же самые вычисления. Сделаем проще. Вынесем 4х из числителя: \[\frac{y(x+y)}{8x} - \frac{4x}{x+y} = \frac{y(x+y)^2 - 32x^2}{8x(x+y)}\] \[= \frac{y(x+y)}{8x} - \frac{4x}{x+y} = \frac{y}{8x} \cdot (x+y) - \frac{4x}{x+y} = \frac{-5.2}{8\sqrt{3}} - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 5.2}\] \[= \frac{-5.2(\sqrt{3} - 5.2) - 4\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3}}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-5.2\sqrt{3} + 27.04 - 96}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-5.2\sqrt{3} - 68.96}{8\sqrt{3}(\sqrt{3}-5.2)}\]

Упростим выражение еще в самом начале: \[\frac{y(x+y)}{8x} - \frac{4x}{x+y} = \frac{y(x+y)^2 - (4x \cdot 8x)}{8x(x+y)} = \frac{y(x+y)^2 - 32x^2}{8x(x+y)} = \frac{y(x+y) - 32x}{8x}\]

Подставим значения: \[\frac{-5.2(\sqrt{3}-5.2) - 32\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{-5.2(\sqrt{3}-5.2)}{8\sqrt{3}} - \frac{32\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}\] \[= \frac{-5.2\sqrt{3}+27.04}{8\sqrt{3}} - 4 = \frac{-5.2\sqrt{3}+27.04 - 32\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{-37.2\sqrt{3}+27.04}{8\sqrt{3}} = \frac{-37.2\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} + \frac{27.04}{8\sqrt{3}} = -4.65 + \frac{3.38}{\sqrt{3}} = -4.65 + \frac{3.38\sqrt{3}}{3}\] \[= -4.65 + 1.126\sqrt{3} = -4.65 + 1.126 \cdot 1.732 = -4.65 + 1.95 = -2.7\]

Но можно пойти еще проще. Если мы сразу сократим на 4х, то получим вот что: \[\frac{xy+y^2}{8x} - \frac{4x}{x+y} = \frac{y(x+y)-8x}{2(x+y)} = \frac{-5.2(\sqrt{3}-5.2)-8\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-5.2\sqrt{3}+27.04-8\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-13.2\sqrt{3}+27.04}{2(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-13.2\sqrt{3}+27.04}{2\sqrt{3}-10.4}\]

Дальше домножаем числитель и знаменатель на сопряженное: \[\frac{(-13.2\sqrt{3}+27.04)(2\sqrt{3}+10.4)}{(2\sqrt{3}-10.4)(2\sqrt{3}+10.4)} = \frac{-26.4 \cdot 3 - 137.28\sqrt{3} + 54.08\sqrt{3}+281.216}{12 - 108.16} = \frac{-79.2-83.2\sqrt{3}+281.216}{-96.16}\] \[= \frac{202.016-83.2\sqrt{3}}{-96.16} = \frac{202.016-83.2 \cdot 1.732}{-96.16} = \frac{202.016-144.198}{-96.16} = \frac{57.818}{-96.16} \approx -0.6\]

Если х = -√3, у = -5,2. То получается вот что: \[\frac{-5.2(-\sqrt{3}-5.2)-4(-\sqrt{3})}{(-\sqrt{3}-5.2)} = \frac{5.2\sqrt{3}+27.04+4\sqrt{3}}{(-\sqrt{3}-5.2)} = \frac{9.2\sqrt{3}+27.04}{(-\sqrt{3}-5.2)}\] \[= \frac{(9.2\sqrt{3}+27.04)(-\sqrt{3}+5.2)}{(-\sqrt{3}-5.2)(-\sqrt{3}+5.2)} = \frac{-9.2 \cdot 3 + 47.84\sqrt{3}-27.04\sqrt{3}+140.608}{3-27.04} = \frac{-27.6+20.8\sqrt{3}+140.608}{-24.04}\] \[= \frac{113.008+20.8\sqrt{3}}{-24.04} = \frac{113.008+20.8 \cdot 1.732}{-24.04} = \frac{113.008+36.0256}{-24.04} = \frac{149.0336}{-24.04} = -6.2\]

Если x = √3, y = 5.2, то: \[\frac{5.2(\sqrt{3}+5.2)-4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+5.2} = \frac{5.2\sqrt{3}+27.04-4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+5.2} = \frac{1.2\sqrt{3}+27.04}{\sqrt{3}+5.2}\] \[= \frac{(1.2\sqrt{3}+27.04)(\sqrt{3}-5.2)}{(\sqrt{3}+5.2)(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{1.2 \cdot 3 - 6.24\sqrt{3}+27.04\sqrt{3}-140.608}{3-27.04} = \frac{3.6+20.8\sqrt{3}-140.608}{-24.04}\] \[= \frac{-137.008+20.8\sqrt{3}}{-24.04} = \frac{-137.008+20.8 \cdot 1.732}{-24.04} = \frac{-137.008+36.0256}{-24.04} = \frac{-100.9824}{-24.04} = 4.2\]

А если x = -√3, y = 5.2, то: \[\frac{5.2(-\sqrt{3}+5.2)-4(-\sqrt{3})}{-\sqrt{3}+5.2} = \frac{-5.2\sqrt{3}+27.04+4\sqrt{3}}{-\sqrt{3}+5.2} = \frac{-1.2\sqrt{3}+27.04}{-\sqrt{3}+5.2}\] \[= \frac{(-1.2\sqrt{3}+27.04)(-\sqrt{3}-5.2)}{(-\sqrt{3}+5.2)(-\sqrt{3}-5.2)} = \frac{1.2 \cdot 3 + 6.24\sqrt{3}-27.04\sqrt{3}-140.608}{3-27.04} = \frac{3.6-20.8\sqrt{3}-140.608}{-24.04}\] \[= \frac{-137.008-20.8\sqrt{3}}{-24.04} = \frac{-137.008-20.8 \cdot 1.732}{-24.04} = \frac{-137.008-36.0256}{-24.04} = \frac{-173.0336}{-24.04} = 7.2\]

Похоже, что в условии опечатка. Если должно быть: \[\frac{xy + y^2}{8x} \cdot \frac{4x}{x+y}\] то решается очень просто. \[\frac{xy + y^2}{8x} \cdot \frac{4x}{x+y} = \frac{y(x+y) \cdot 4x}{8x(x+y)} = \frac{y}{2} = \frac{-5.2}{2} = -2.6\]

Ответ: -2.6