Найдите значения a, при которых уравнение ax^2 + 2sqrt(14)x + 3 + a = 0 имеет один корень.

Уравнение $$ax^2 + 2\sqrt{14}x + 3 + a = 0$$ имеет один корень, если дискриминант равен нулю или если a = 0 и уравнение становится линейным.

Случай 1: a = 0

В этом случае уравнение становится:$$2\sqrt{14}x + 3 = 0$$Это линейное уравнение, и оно имеет один корень. Так что a = 0 является решением.

Случай 2: $$a
eq 0$$

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$ должен быть равен нулю для квадратного уравнения.

$$D = (2\sqrt{14})^2 - 4(a)(3+a) = 0$$

$$4 \cdot 14 - 4a(3+a) = 0$$

$$56 - 4a^2 - 12a = 0$$

Разделим на -4:

$$a^2 + 3a - 14 = 0$$

Решим квадратное уравнение:$$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-14)}}{2(1)}$$

$$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2}$$

$$a = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{2}$$

Итак, значения a:$$a_1 = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2}, a_2 = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2}, a_3 = 0$$

Ответ: 0, $$\frac{-3 + \sqrt{65}}{2}$$, $$\frac{-3 - \sqrt{65}}{2}$$