165 Найдите: a) C₄³; 6) C₅²; в) C₇⁵; г)* C₁₁³; д)* C₁₂⁶; e)* C₁₂⁸.

Разбираемся:

В этих заданиях нужно вспомнить, что такое сочетания и как они вычисляются. Сочетание — это выборка элементов из множества, где порядок не важен. Формула для вычисления числа сочетаний из n по k выглядит так: \[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Решаем:

a) \(C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{24}{6} = 4\)

б) \(C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{12} = 10\)

в) \(C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5040}{240} = 21\)

г) \(C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8!}{(3 \times 2 \times 1)(8!)} = \frac{11 \times 10 \times 9}{6} = 165\)

д) \(C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(6!)} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{720} = 924\)

e) \(C_{12}^8 = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{(8!)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24} = 495\)

Ответы:

• a) 4
• б) 10
• в) 21
• г) 165
• д) 924
• e) 495