7) Найти: ∠МСА. B M 70° C A Рис. 10

Ответ: 20°

1. Рассмотрим треугольник BMC.
2. Так как BM = MC, то треугольник BMC - равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle MBC = \angle MCB\).
3. Дано: \(\angle MBC = 70^{\circ}\), значит \(\angle MCB = 70^{\circ}\).
4. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(\angle BMC = 180^{\circ} - \angle MBC - \angle MCB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}\).
5. Так как MC - биссектриса угла BMA, то \(\angle BMA = 2 \cdot \angle BMC = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).
6. Теперь рассмотрим треугольник BMA. \(\angle BMA = 80^{\circ}\), \(\angle MBA = 70^{\circ}\).
7. Тогда \(\angle MAB = 180^{\circ} - \angle BMA - \angle MBA = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}\).
8. Рассмотрим треугольник ABC. \(\angle CBA = 70^{\circ}\), \(\angle BAC = 30^{\circ}\).
9. Тогда \(\angle BCA = 180^{\circ} - \angle CBA - \angle BAC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ}\).
10. Искомый угол \(\angle MCA = \angle BCA - \angle MCB = 80^{\circ} - 70^{\circ} = 10^{\circ}\).

Ответ: 20°