Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распределения:

Решение:

Дан закон распределения случайной величины X:

Сначала проверим, что сумма вероятностей равна 1:

\[ 0,05 + 0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,15 + 0,2 = 1 \]

Дисперсия \( D(X) \) вычисляется по формуле: \( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \).

Найдем математическое ожидание \( E(X) \):

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) \]

\[ E(X) = 1 \cdot 0,05 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,15 + 6 \cdot 0,2 \]

\[ E(X) = 0,05 + 0,4 + 0,3 + 1,2 + 0,75 + 1,2 \]

\[ E(X) = 3,9 \]

Найдем математическое ожидание \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i) \]

\[ E(X^2) = 1^2 \cdot 0,05 + 2^2 \cdot 0,2 + 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,3 + 5^2 \cdot 0,15 + 6^2 \cdot 0,2 \]

\[ E(X^2) = 1 \cdot 0,05 + 4 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,3 + 25 \cdot 0,15 + 36 \cdot 0,2 \]

\[ E(X^2) = 0,05 + 0,8 + 0,9 + 4,8 + 3,75 + 7,2 \]

\[ E(X^2) = 17,5 \]

Теперь вычислим дисперсию:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

\[ D(X) = 17,5 - (3,9)^2 \]

\[ D(X) = 17,5 - 15,21 \]

\[ D(X) = 2,29 \]

Ответ: Дисперсия случайной величины равна 2,29.