Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами 10 см и 15 см, равна 550 см². Найдите диагональ параллелепипеда.

Решение:

Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда как \( a = 15 \) см и \( b = 10 \) см. Высоту параллелепипеда обозначим как \( c \).

Площадь полной поверхности \( S_{полн} \) равна сумме площадей двух оснований и четырех боковых граней.

Площадь основания: \( S_{осн} = a \cdot b = 15 \cdot 10 = 150 \) см².

Площадь двух оснований: \( 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 150 = 300 \) см².

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 2(ac + bc) \).

Общая площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2ab + 2ac + 2bc \).

По условию, \( S_{полн} = 550 \) см².

\[ 550 = 2(15 \cdot 10) + 2(15 \cdot c) + 2(10 \cdot c) \]

\[ 550 = 300 + 30c + 20c \]

\[ 550 = 300 + 50c \]

\[ 550 - 300 = 50c \]

\[ 250 = 50c \]

\[ c = \frac{250}{50} = 5 \) см.

Итак, высота параллелепипеда \( c = 5 \) см.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда \( d \) вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \).

Подставим значения:

\[ d = \sqrt{15^2 + 10^2 + 5^2} \]

\[ d = \sqrt{225 + 100 + 25} \]

\[ d = \sqrt{350} \]

Упростим корень: \( 350 = 25 \cdot 14 \).

\[ d = \(\sqrt{25 \cdot 14}\) = 5\(\sqrt{14}\) \) см.

Ответ: Диагональ параллелепипеда равна \( 5\sqrt{14} \) см.