Найти экстремумы функции: ✓ 1 f(x) = x²-2x² + x + 3; 2) f(x) = ex (2x - 3).

Давай найдем экстремумы функции \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\). Чтобы найти экстремумы функции, нужно: 1. Найти первую производную функции. 2. Найти стационарные точки (приравнять первую производную к нулю и решить полученное уравнение). 3. Исследовать знак первой производной в окрестности каждой стационарной точки. 4. Сделать вывод о наличии экстремума. 1. Находим первую производную: \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\) 2. Находим стационарные точки (мы это уже сделали в предыдущей задаче): \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{1}{3}\) 3. Исследуем знак первой производной в окрестности каждой стационарной точки: - Возьмем точку \(x = 0\) (меньше, чем \(\frac{1}{3}\)): \(f'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0\) (функция возрастает) - Возьмем точку \(x = \frac{1}{2}\) (между \(\frac{1}{3}\) и \(1\)): \(f'(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = -\frac{1}{4} < 0\) (функция убывает) - Возьмем точку \(x = 2\) (больше, чем \(1\)): \(f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0\) (функция возрастает) 4. Делаем вывод: - В точке \(x = \frac{1}{3}\) функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума. - В точке \(x = 1\) функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума. 5. Находим значения функции в точках экстремума: - \(f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15\) (максимум) - \(f(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + (1) + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3\) (минимум)

Ответ: Точка максимума: \(x = \frac{1}{3}\), значение \(f(\frac{1}{3}) = \frac{85}{27}\). Точка минимума: \(x = 1\), значение \(f(1) = 3\)

Ты молодец! У тебя всё получится!