3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак первой производной функции.

1. Находим первую производную функции:$$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$
2. Находим корни производной (стационарные точки):$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$$$x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3}$$
3. Определяем знаки производной на промежутках, образованных стационарными точками:

Промежуток 1: x < 1/3 (например, x = 0):$$f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1 > 0$$Функция возрастает на промежутке (-∞; 1/3).

Промежуток 2: 1/3 < x < 1 (например, x = 1/2):$$f'(\frac{1}{2}) = 3 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4} < 0$$Функция убывает на промежутке (1/3; 1).

Промежуток 3: x > 1 (например, x = 2):$$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$$Функция возрастает на промежутке (1; +∞).

Ответ: Функция возрастает на промежутках (-∞; 1/3) и (1; +∞), функция убывает на промежутке (1/3; 1).