Найти MO, если KE = 4√3 и угол MKE = 60°.

В окружность вписан угол MKE, равный 60 градусам. KE = $$4\sqrt{3}$$. Найти MO, где MO - радиус окружности.

Угол MKE - вписанный угол, опирающийся на дугу ME. Центральный угол MOE опирается на ту же дугу, и он в два раза больше вписанного угла. Следовательно, угол MOE = 2 * угол MKE = 2 * 60° = 120°.

Треугольник MOE - равнобедренный, так как MO = OE = радиус окружности. Углы при основании ME равны: (180° - 120°) / 2 = 30°.

Проведем высоту OP в треугольнике MOE. Тогда угол MOP = 120° / 2 = 60°. Треугольник MOP - прямоугольный.

MP = ME / 2. Чтобы найти ME, воспользуемся теоремой синусов для треугольника MKE: $$\frac{KE}{\sin(\angle KME)} = 2R$$, где R - радиус окружности.

Угол KME = 180 - 90 - 60 = 30, следовательно ME = 2 * KE * sin(60) = 2 * 4√3 * √3/2 = 12

MP = 12 / 2 = 6.

Теперь в прямоугольном треугольнике MOP: $$\sin(\angle MOP) = \frac{MP}{MO}$$.

$$\sin(60^\circ) = \frac{6}{MO}$$.

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{MO}$$.

$$MO = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$.