5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ - x² - x + 2 на отрезке [-1; 3/2].

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x) = x^3 - x^2 - x + 2$$ на отрезке $$[-1; \frac{3}{2}]$$.

1) Находим первую производную функции:

$$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$$

2) Находим критические точки, где $$f'(x) = 0$$.

Как мы уже выяснили ранее, корни производной:

$$x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3}$$

Оба этих корня лежат в отрезке $$[-1; \frac{3}{2}]$$.

3) Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

• $$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1$$
• $$f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + 2 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 = \frac{-1 - 3 + 9 + 54}{27} = \frac{59}{27} ≈ 2.185$$
• $$f(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1$$
• $$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2}) + 2 = \frac{27}{8} - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{27 - 18 - 12 + 16}{8} = \frac{13}{8} = 1.625$$

4) Сравниваем значения функции в этих точках, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение: $$f(-\frac{1}{3}) = \frac{59}{27} ≈ 2.185$$

Наименьшее значение: $$f(-1) = f(1) = 1$$

Ответ: Наибольшее значение: $$\frac{59}{27}$$. Наименьшее значение: $$1$$.