1 Найти общий вид первообразной a) f(x) = 4x³ + 2x – 5; 6) f(x) = cos(2x + 3).

Задание 1

Найти общий вид первообразной.

а) \(f(x) = 4x^3 + 2x - 5\)

Логика такая:

Первообразная функции \(x^n\) равна \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\), первообразная константы \(k\) равна \(kx\).

Применяем эти правила:

\[\int (4x^3 + 2x - 5) dx = 4 \int x^3 dx + 2 \int x dx - 5 \int dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = x^4 + x^2 - 5x + C\]

б) \(f(x) = cos(2x + 3)\)

Разбираемся:

Первообразная функции \(\cos(ax + b)\) равна \(\frac{1}{a} \sin(ax + b)\).

Применяем это правило:

\[\int \cos(2x + 3) dx = \frac{1}{2} \sin(2x + 3) + C\]

Ответ: а) \(x^4 + x^2 - 5x + C\); б) \(\frac{1}{2} \sin(2x + 3) + C\)