Найти первый член и сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bₙ), если b₂ = 16 и b₄ = 144.

Решение:

1. Шаг 1: Найдем знаменатель геометрической прогрессии (q).

   \[ b_2 = b_1 \cdot q = 16 \]

   \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 = 144 \]

   Разделим второе уравнение на первое:

   \[ \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = \frac{144}{16} \]

   \[ q^2 = 9 \]

   \[ q = \pm 3 \]

   Рассмотрим оба случая:
   • q = 3:
   • q = -3:
2. Шаг 2: Найдем первый член геометрической прогрессии (b₁). Для q = 3:

   \[ b_1 \cdot 3 = 16 \]

   \[ b_1 = \frac{16}{3} \]

   Для q = -3:

   \[ b_1 \cdot (-3) = 16 \]

   \[ b_1 = -\frac{16}{3} \]

3. Шаг 3: Найдем сумму четырех первых членов (S₄). Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

   \[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \]

   Для q = 3 и b₁ = 16/3:

   \[ S_4 = \frac{\frac{16}{3}(1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{\frac{16}{3}(1 - 81)}{-2} = \frac{\frac{16}{3}(-80)}{-2} = \frac{16 \cdot 80}{3 \cdot 2} = \frac{8 \cdot 80}{3} = \frac{640}{3} \]

   Для q = -3 и b₁ = -16/3:

   \[ S_4 = \frac{-\frac{16}{3}(1 - (-3)^4)}{1 - (-3)} = \frac{-\frac{16}{3}(1 - 81)}{4} = \frac{-\frac{16}{3}(-80)}{4} = \frac{16 \cdot 80}{3 \cdot 4} = \frac{4 \cdot 80}{3} = \frac{320}{3} \]

Ответ: Первый член равен 16/3 или -16/3. Сумма четырех первых членов равна 640/3 или 320/3 соответственно.